Monstre de Weierstrass

[absent]

Désolé de vous decevoir, mais ce n'est pas une créature dont il s'agit ici

Ceux qui ont la tête lourde juste avant le ftor, circulez ...

Question : On sais qu'une fonction mathématique dérivable partout est continue partout. Mais est-ce que le contraire est vrai ? c'est à dire : Est ce qu'une fonction continue partout est dérivable partout ?

Alors vous avez reflechi ? vous vous dites que certainement ?

continuez
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
Eh bah figurez vous que c'est pas nécessairement toujours la cas ... des fonctions qui sont continues partout et dérivables nulle part existent... on leur a donné le nom de fonction monstre

Un exemple : la fonction monstre de Weierstrass (1815 - 1897)

∞
F(x) = Σ b^n cos(a^n πx)
n=0


Saha ftourkem

[sonett]

far_solitaire saha ftorek bessah rass 3andek lol

[absent]

Vraiment difficile à imaginer la courbe, ça me rappelle les fractales.

[sentenza]

Effectivement ça me fait penser aux fractales.

Graphiquement, il n'est pas évident de se représenter ce type de courbe.
En gros c'est comme si on zoom à l'infini sur n'importe quel tronçon de la courbe, et que l'on se rend compte que chaque tronçon est lui même subdivisé en plusieurs tronçons qui eux même sont subidivisés en plusieurs tronçons et ce jusqu'à l'infini. La courbe n'est "lisse" en aucun point, elle présente des ruptures de pentes constamment.
Ainsi même si une fonction f est continue sur l'intervalle I (grosso modo, graphiquement la courbe n'a pas de saut sur I, toute valeur x de I a une valeur f(x) ) et bien elle n'est dérivable en aucun point, c'est à dire qu'en aucun point de la courbe, il ne pourrait y avoir de droite tangente à ce portion de courbe.

La fonction donnée par Far porte bien son nom

[absent]

Exact les zamis ... effectivement ça fait penser aux fracales.

Sentenza, tu as tout compris ... une dent de scie infinie à toute échelle
merci pour l'excellent supplément ...

aller un texte qui me plait bien

Les progrès actuels des mathématiques

Christian Radoux

La physique, la chimie, la biologie, l'informatique, l'astronomie sont en progrès constant; qui en doute encore ? La technologie est là pour le prouver. Les mathématiques par contre sont souvent perçues comme un monde pétrifié. Combien de fois n'ai-je pas entendu cette question grosse d'une réponse qu'on devine sans peine : Comment ? On cherche encore en mathématiques ?
Leur objet ne serait qu'une sorte de comptabilité compliquée, aride et sans âme. L'imagination, le sens esthétique en seraient absents, voire bannis. A peu près comme si la peinture se réduisait à celle des entreprises en bâtiment, à des années lumière de Vermeer ou de Monet !
Les épithètes accolées au mathématicien lui-même sont fréquemment rigoureux, sévère, mais aussi froid ou encore ennuyeux, quand ce n'est pas inculte.
Il est vrai que la culture littéraire a si longtemps eu l'arrogante prétention d'être la culture...
Qu'en est-il vraiment ?
A mon sens, le grand tournant dans l'organisation sociale de la recherche en sciences est la Révolution française. Auparavant, des génies isolés oeuvraient, en général sans statut bien précis. Et parler d'école, pour marquer l'influence de l'un ou de l'autre me semble pure fiction. Quand Euler, à la charnière entre deux époques et deux mondes, exprime son admiration pour les premières grandes trouvailles du jeune Lagrange, je pense irrésistiblement à Haydn sidéré par les six quatuors que lui dédie Mozart, bouleversant dans leur densité et leur limpidité cristalline un style (que ce mot est faible, mais je n'en trouve pas de meilleur !) qu'il avait lui-même transfiguré. C'est exactement la même chose, et c'est énorme; mais c'est tout, si j'ose dire.
Deux puissants vecteurs de changement sont la création des "grandes écoles" et des revues scientifiques de haut niveau. Les motivations en sont complexes et il est impossible de les aborder avec pertinence ici. Disons seulement que cela va de la défense nationale face aux nobles émigrés au désir d'une certaine démocratisation de l'enseignement. Mais encore est-on loin, dans les faits, des idées visionnaires et de l'héroïsme démocratique de Condorcet. C'est aussi la première fois que des créateurs de tout premier plan (Lagrange, Laplace, Monge,...) sont appointés comme professeurs publics et éditent leur travaux de recherche dans des périodiques officiels, comme les Annales de leurs écoles.
Et la machine s'emballe : le nombre de mathématiciens croît de façon jamais vue, tout comme leur production. Les mathématiques commencent à se diversifier de façon inouïe, mais aussi à se couper du sens commun, et même des autres sciences. Le temps de l'honnête homme, à la Pascal, est bien révolu. La spécialisation est telle et les progrès sont si fulgurants que les professionnels en viennent à l'incompréhension mutuelle. Songeons au destin tragique des deux étoiles filantes Abel (1802-1829) et Galois (1811-1832).
Le XIXième siècle est aussi celui des révolutions conceptuelles, avec l'irruption des grandes structures algébriques (groupes, corps,...), des fonctions nouvelles (fonctions elliptiques, déjà devinées par le génie prophétique d'Euler, mais envahissant toute l'analyse à la suite des éblouissants travaux d'Abel, de Jacobi, de Weierstrass), des monstres (fonctions continues partout et nulle part dérivables, du même Weierstrass, courbe de von Koch, préfigurant les structures fractales,...), des géométries non euclidiennes (l'immense Gauss, Riemann, Lobatchevski,...).
L'art pour l'art, cela n'a rien de nouveau : quand Euclide démontre qu'il existe une infinité de nombres premiers, c'est déjà bien la même mentalité d'explorateur émerveillé. Mais le niveau d'abstraction, la technicité, le caractère paradoxal des découvertes deviennent une règle générale. La science grecque, heurtée dans ses dogmes par sa propre découverte des irrationnels avait jeté l'éponge. Le XIXième siècle est sans cesse bousculé, mais aussi stimulé. En quelque sorte, la crise des fondements ne fera que culminer avec les paradoxes qui allaient donner naissance au forceps, dès Cantor, à la logique moderne, dont pratiquement personne dans ce qu'il est convenu d'appeler le grand public n'a la moindre idée un peu correcte.
L'organisation, de plus en plus systématique, des congrès scientifiques est aussi, à la fin du siècle dernier un ferment supplémentaire particulièrement important.
Au XXième siècle, de nouveaux orages strient un ciel déjà bien tourmenté par une considérable amplification de ces turbulences. Quand Gödel prouve l'apparition inexorable d'énoncés indécidables dans toute théorie assez forte pour contenir (en termes ici vulgarisés jusqu'à la caricature) l'arithmétique élémentaire, quand Cohen s'attaque avec ces armes à l'hypothèse du continu (en termes tout aussi expéditifs, existe-t-il "un infini intermédiaire entre" le dénombrable, comme l'ensemble des entiers et le continu, comme l'ensemble des réels ?), c'est le rationalisme scientifique lui-même qui semble vaciller, alors qu'en réalité il ne fait que mettre à jour ses racines. La physique endure les mêmes convulsions avec la relativité et la mécanique quantique.
Comment résumer la situation actuelle sans trop la trahir ?
Par quelques images, peut-être.

[darwish]

Comme quoi "la pathologie" n'est pas exclusive au monde biologique; méfiez-vous de la logique les matheux.
Parole de physicien.

[absent]

suite

• Tout d'abord, par exemple, celle des Mathematical Reviews. Imaginez, publié chaque mois un livre, gros comme un annuaire téléphonique, rempli de milliers d'articles en très petits (trop petits !) caractères. En fait, il ne s'agit pas vraiment d'articles, mais bien d'assez brefs comptes rendus d'articles de recherche. Sa classification, aussi synthétique et systématique que possible a néanmoins explosé en une multitude de ramifications qui n'ont, à nouveau, rien à voir avec ce que le grand public imagine. Lorsque je pose la question, on me répond en général algèbre, trigo,...; bref les souvenirs de l'enseignement secondaire, quand il en reste. Comment en effet concevoir des expressions comme analyse harmonique non commutative, ou bien fonctions modulaires et automorphes, ou encore analyse p-adique ?
• Ensuite, par quelques "gros" problèmes résolus dans les dernières décennies : parfois des dizaines, voire des centaines de pages de démonstration. Un bel exemple est la classification des groupes simples (l'adjectif a ici une acception technique bien précise). Cela pose des problèmes de (vraie) philosophie : qui domine tout à fait de telles preuves, s'appuyant de surcroît sur des théories très complexes, souvent utilisées en appoint par des mathématiciens qui n'en sont pas vraiment spécialistes ?
• Aussi sans doute par l'un ou l'autre cas de démonstration achevée sur ordinateur. Il y en a plusieurs, mais pas toujours faciles à expliquer, comme par exemple la conjecture de Waring pour l'exposant 4. Il en est un cependant très intuitif : celui de la conjecture des quatre couleurs, déjà formulée par Euler, que voici. Quatre couleurs suffisent toujours pour colorier une carte plane, de manière à ce que deux zones ayant une frontière commune (une ligne, non réduite à un point) soient discernables. La partie "faite à la main" de la démonstration mène à une multitude de configurations exceptionnelles possibles qu'il convient d'éliminer toutes. Comme elles sont en nombre fini, l'ordinateur (bien programmé, au moyen d'algorithmes eux-mêmes très astucieux) peut achever un massacre qui, sinon, aurait demandé un temps considérable. Là aussi, d'épineux problèmes philosophiques surgissent : comment éliminer les erreurs systématiques peut-être induites par une machine, par un langage de programmation; comment vérifier qu'il n'y a pas, même avec des outils parfaitement corrects, d'erreurs de programmation,...).
• Enfin peut-être par un exemple tout à fait actuel, mais plongeant ses racines dans (au moins) les trois derniers siècles. Il s'agit de la conjecture de Fermat. Par une "chance" assez fréquente en théorie des nombres, son énoncé est compréhensible dès l'école primaire. On sait que la somme de deux carrés d'entiers non nuls peut encore être le carré d'un entier. Ainsi, par exemple 3² + 4² = 5², ou encore 5² + 12² = 13². La solution générale est en fait d'une simplicité enfantine : elle peut s'écrire (m² - n²)² + (2mn)² = (m² + n²)². Fermat (1601-1665) a affirmé, et pensait avoir prouvé, que cela n'est plus jamais possible pour un exposant supérieur ou égal à trois. C'est en 1994 seulement qu'Andrew Wiles a donné une démonstration de cet énoncé. Elle a ensuite demandé près de trois ans de vérifications et corrections. Cette preuve s'appuyait elle-même sur de très belles trouvailles antérieures d'autres mathématiciens, ressortissant essentiellement à la géométrie algébrique1, l'une des branches les plus difficiles des mathématiques contemporaines. Il faut ajouter que l'énoncé de Fermat, qui n'a (jusqu'à présent...) aucune application directe, même interne aux mathématiques, a paradoxalement été l'une des principales causes d'élaboration de nombreux outils algébriques et analytiques de première importance (corps de nombres algébriques, idéaux, fonctions ζ,...). C'est aussi une belle occasion de signaler que les mathématiques se développent au moins autant selon une énergie interne irrépressible que pour répondre à des problèmes posés "de l'extérieur". Il est, à cet égard, très significatif d'entendre les conversations des mathématiciens professionnels : vous entendrez souvent c'est beau, plus rarement c'est puissant et presque jamais c'est utile. Les mathématiciens sont en fait bien plus proches des poètes et des musiciens que des ingénieurs !
• Pour conclure, je voudrais encore dire que, dans mon secteur tout au moins, à savoir justement celui de la théorie des nombres, l'ordinateur, et surtout les logiciels de calcul symbolique (Derive Algebra, Mathematica, MathCad,...) nous donnent (enfin !) un véritable banc d'essai : les mathématiques deviennent largement expérimentales. Cela ne change strictement rien à l'obligation de prouver. Mais formulations ou réfutations de conjectures fines par une programmation facile et directe, "sous-traitance" de calculs énormes, bien que routiniers nous permettent une appréhension bien plus immédiate de l'hypothétique "réalité". Nous n'en avons d'ailleurs pas le monopole. Un ancien étudiant, devenu entre-temps un (brillant) jeune collègue physicien théoricien me disait hier que, sans son logiciel (Reduce), il ne pourrait parfois plus rien faire.

A tous ceux que le sujet intéresse, je conseille la lecture d'un livre très récent, en tout point remarquable. Le titre en est Le fascinant nombre π; l'auteur est Jean-Paul Delahaye, professeur à l'Université de Lille. Il est publié dans la collection Bibliothèque pour la science des éditions Belin. Pourquoi spécialement celui-là, parmi tant d'autres ? D'abord parce que π fascine en effet les hommes, et pas seulement les mathématiciens de métier, depuis plus de deux millénaires et que c'est un thème merveilleux pour illustrer de manière plus approfondie ce que je n'ai pu qu'effleurer ici. C'est d'autant plus vrai qu'il est ancré dans tous les aspects : géométrie, algèbre, analyse, informatique,... des mathématiques. Ensuite, parce que l'ouvrage est très bien écrit, avec trois niveaux de lecture possibles : le profane, l'amateur éclairé, le professionnel et que les importants aspects historiques, sociologiques,... sont développés avec beaucoup d'érudition, de finesse et d'esprit critique. Enfin, ce qui ne gâche rien, parce qu'il est fort joliment présenté et abondamment illustré.

[L'OISEAU BLEU]

Et moi je n'ai rien compris (suis-je trop bête ), Far peux-tu me réexpliquer stp ?

[absent]

Merci beaucoup pour cet article Far. Y'a une autre famille de courbes "monstrueuse", les courbes discontinues en tout point, c'est les courbes d'équation f qui associrait un nombre donné pour un rationnel et un autre pour un irrationnel.

[absent]

L'OISEAU BLEU
T'inquiete c'est tout à fait normal que tu ne comprenne rien et je te rassure ce n'est pas une tarre ... c'est juste que c'est compliqué pour le commun

Y'a une autre famille de courbes "monstrueuse", les courbes discontinues en tout point

Exact Aanis, tu as raison de les invoquer

[absent]

C'est pas si compliqué que ça, il suffit de savoir de quoi on parle.

[L'OISEAU BLEU]

Far, dis tout de suite que je suis quantité négligeable et que toi tu es un être supérieur :18:

[absent]

Far, dis tout de suite que je suis quantité négligeable et que toi tu es un être supérieur

Mdddrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr ... on a tous un cerveau
Bon Sentenza a simplier la chose, je ne peut faire mieux

[darwish]

Parfois cela se passe ainsi losqu'on voudrait expliquer la science à un large publique.

[L'OISEAU BLEU]

@Far : on n'a pas tous la chance de descendre des extraterrestres comme toi . Mon cerveau est juste celui d'un être humain, pas celui d'un robot!!!