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Petite étude mathématique sur les prix actuels du pétrole !
Intéressé par l’évolution des cours du pétrole, j’ai voulu analyser mathématiquement cette évolution.Cette analyse n’a probablement pas de pertinence économique et n’est que théorique.Avant de voir les résultats, nous allons d’abord voir les principes mathématiques.Nous appliquerons ensuite l’analyse à un échantillon de données entre le 19 janvier et le 12 novembre 2007.Pour terminer, nous déduirons des prévisions pour les mois qui viennent.Lorsque les véritables chiffres seront connus, nous pourrons alors déduire la pertinence de cette analyse.
Principes mathématiques (méthode des moindres carrés)
http://ddata.**************/xxxyyy/0...aty/Courbe.png
En observant les prix du baril sur la période étudiée, nous pouvons considérer que les prix suivent une progression. Certains considérerons cette progression comme sensiblement linéaire. Dans un tel cas, nous pouvons chercher la droite qui représente le mieux cette progression. Cependant, une observation plus attentive montre une progression plus forte ces derniers temps. Aussi, pouvons nous chercher une autre courbe que la droite et prendre une parabole. Quelque soit la courbe choisie (nous en prendrons 3 dans notre analyse), nous cherchons la courbe qui soit le plus proche (autrement dit la plus probable) du jeu de données.
Prenons le cas d’un ajustement linéaire. La courbe théorique est donc une équation du type y=ax+b où :y est le prix du baril, x est la date, a et b des coefficients à déterminer de manière à coller au mieux. Pour déterminer les coefficients a et b, nous mettons en évidence un prix réel et un prix calculé à partir de l’équation. La différence entre le prix réel et le prix calculé est appelé résidu. Pour chaque prix x, ce résidu est égal à y-ax-b. La méthode consiste à minimiser la somme des carrés des résidus (d’où le nom de la méthode : moindres carrés). La solution au problème est la plus probable et permet la détermination des paramètres de la droite cherchée.
Un ajustement à une autre courbe comme une parabole repose sur le même principe. la différence est la courbe qui a pour équation y=ax²+bx+c. Nous cherchons alors les paramètres de la parabole soit les coefficients a, b et c. Nous ajouterons également une troisième courbe à notre analyse : une parabole cubique d’équation y=a³+bx²+cx+d. Enfin, nous pouvons estimer quelle courbe est la plus pertinente par rapport au jeu de données. Nous disposons pour cela d’un indicateur statistique : l’écart-type. Cet indicateur est toujours positif et plus sa valeur est petite, plus les valeurs absolus des résidus sont également petits.
Limite
Il reste que la pertinence des 3 courbes choisies ne l’est pas lorsque nous extrapolerons les résultats. Elle n’est limitée qu’à la période du jeu de données, laquelle période est de surcroit très courte. De plus, la meilleure courbe serait celle d’une loi régissant le prix à la date. Je lance un appel aux lecteurs qui connaîtraient une telle loi de me la faire connaître.
Ajustement linéaire
http://ddata.**************/xxxyyy/0...ty/CourbeL.png
L’ajustement linéaire donne a=0,11 b=53,24.
L’écart-type de cet ajustement est de 3,69$
L’écart minimum est de -11,52$ (7 novembre)
L’écart maximum est de 8,20$ (23 août)
Ajustement parabolique
http://ddata.**************/xxxyyy/0...ty/CourbeP.png
L’ajustement parabolique donne a=0,0003 b=0,0174 c=57.86.
L’écart-type de cet ajustement est de 2,96$
L’écart minimum est de -8,33$ (13 avril)
L’écart maximum est de 7,29$ (19 janvier)Cet ajustement parabolique est meilleur que l’ajustement linéaire. Il colle mieux aux données ce qui est corroboré par un écart-type et des valeurs extrêmes plus faibles.
Ajustement cubique http://ddata.**************/xxxyyy/0...ty/CourbeC.png
L’ajustement cubique donne a=0,000003 b=-0,0011 c=0.185 d=53,87 L’écart-type de cet ajustement est de 2,44$ L’écart minimum est de -6,45$ (13 avril)
L’écart maximum est de 5,85$ (9 octobre) Ce troisième ajustement est meilleur que les précédents. Il colle mieux aux données ce qui est corroboré par un écart-type et des valeurs extrêmes toujours plus faibles.
http://ddata.**************/xxxyyy/0...ty/CourbeS.png
Ajustements Voici les graphes comparés des 3 courbes. Nous pouvons constater visuellement les résultats obtenus par calcul.
Extrapolations http://ddata.**************/xxxyyy/0...rojections.png Nous allons maintenant extrapoler les résultats. Attention toutefois à ne pas déduire de jugements hâtifs. Comme cela fut dit plus haut, les 3 courbes ne correspondent probablement à aucune réalité économique. De surcroît, l’extrapolation est réalisée à partir d’une courte période ce qui n’est pas bon. C’est aussi la raison qui nous conduira à ne pas dépasser le 15 mai 2008 (ce qui est déjà bien audacieux).
Date Linéaire Parabolique Cubique
01/12/2007 89,29$ 95,69$ 103,49$
15/12/2007 90,89$ 98,86$ 110,21$
01/01/2008 92,83$ 102,88$ 119,48$
15/01/2008 94,43$ 106,33$ 128,09$
01/02/2008 96,37$ 110,70$ 139,81$
15/02/2008 97,97$ 114,43$ 150,57$
01/03/2008 99,68$ 118,57$ 163,27$
15/03/2008 101,27$ 122,57$ 176,27$
01/04/2008 103,21$ 127,59$ 193,64$
15/04/2008 104,81$ 131,46$ 209,29$
01/05/2008 106,64$ 136,16$ 228,76$
15/05/2008 108,23$ 141,99$ 247,24$
Une intuition personnelle me pousse à penser que l’ajustement parabolique se révèlera plus proche de la réalité. L’ajustement linéaire ne tient pas compte de l’emballement récent, l’ajustement cubique ayant tendance à s’emballer de manière excessive.
A suivre …Jean-Claude Caty
source : http://www.terredebrut.org/article-14036437.html
Intéressé par l’évolution des cours du pétrole, j’ai voulu analyser mathématiquement cette évolution.Cette analyse n’a probablement pas de pertinence économique et n’est que théorique.Avant de voir les résultats, nous allons d’abord voir les principes mathématiques.Nous appliquerons ensuite l’analyse à un échantillon de données entre le 19 janvier et le 12 novembre 2007.Pour terminer, nous déduirons des prévisions pour les mois qui viennent.Lorsque les véritables chiffres seront connus, nous pourrons alors déduire la pertinence de cette analyse.
Principes mathématiques (méthode des moindres carrés)
http://ddata.**************/xxxyyy/0...aty/Courbe.png
En observant les prix du baril sur la période étudiée, nous pouvons considérer que les prix suivent une progression. Certains considérerons cette progression comme sensiblement linéaire. Dans un tel cas, nous pouvons chercher la droite qui représente le mieux cette progression. Cependant, une observation plus attentive montre une progression plus forte ces derniers temps. Aussi, pouvons nous chercher une autre courbe que la droite et prendre une parabole. Quelque soit la courbe choisie (nous en prendrons 3 dans notre analyse), nous cherchons la courbe qui soit le plus proche (autrement dit la plus probable) du jeu de données.
Prenons le cas d’un ajustement linéaire. La courbe théorique est donc une équation du type y=ax+b où :y est le prix du baril, x est la date, a et b des coefficients à déterminer de manière à coller au mieux. Pour déterminer les coefficients a et b, nous mettons en évidence un prix réel et un prix calculé à partir de l’équation. La différence entre le prix réel et le prix calculé est appelé résidu. Pour chaque prix x, ce résidu est égal à y-ax-b. La méthode consiste à minimiser la somme des carrés des résidus (d’où le nom de la méthode : moindres carrés). La solution au problème est la plus probable et permet la détermination des paramètres de la droite cherchée.
Un ajustement à une autre courbe comme une parabole repose sur le même principe. la différence est la courbe qui a pour équation y=ax²+bx+c. Nous cherchons alors les paramètres de la parabole soit les coefficients a, b et c. Nous ajouterons également une troisième courbe à notre analyse : une parabole cubique d’équation y=a³+bx²+cx+d. Enfin, nous pouvons estimer quelle courbe est la plus pertinente par rapport au jeu de données. Nous disposons pour cela d’un indicateur statistique : l’écart-type. Cet indicateur est toujours positif et plus sa valeur est petite, plus les valeurs absolus des résidus sont également petits.
Limite
Il reste que la pertinence des 3 courbes choisies ne l’est pas lorsque nous extrapolerons les résultats. Elle n’est limitée qu’à la période du jeu de données, laquelle période est de surcroit très courte. De plus, la meilleure courbe serait celle d’une loi régissant le prix à la date. Je lance un appel aux lecteurs qui connaîtraient une telle loi de me la faire connaître.
Ajustement linéaire
http://ddata.**************/xxxyyy/0...ty/CourbeL.png
L’ajustement linéaire donne a=0,11 b=53,24.
L’écart-type de cet ajustement est de 3,69$
L’écart minimum est de -11,52$ (7 novembre)
L’écart maximum est de 8,20$ (23 août)
Ajustement parabolique
http://ddata.**************/xxxyyy/0...ty/CourbeP.png
L’ajustement parabolique donne a=0,0003 b=0,0174 c=57.86.
L’écart-type de cet ajustement est de 2,96$
L’écart minimum est de -8,33$ (13 avril)
L’écart maximum est de 7,29$ (19 janvier)Cet ajustement parabolique est meilleur que l’ajustement linéaire. Il colle mieux aux données ce qui est corroboré par un écart-type et des valeurs extrêmes plus faibles.
Ajustement cubique http://ddata.**************/xxxyyy/0...ty/CourbeC.png
L’ajustement cubique donne a=0,000003 b=-0,0011 c=0.185 d=53,87 L’écart-type de cet ajustement est de 2,44$ L’écart minimum est de -6,45$ (13 avril)
L’écart maximum est de 5,85$ (9 octobre) Ce troisième ajustement est meilleur que les précédents. Il colle mieux aux données ce qui est corroboré par un écart-type et des valeurs extrêmes toujours plus faibles.
http://ddata.**************/xxxyyy/0...ty/CourbeS.png
Ajustements Voici les graphes comparés des 3 courbes. Nous pouvons constater visuellement les résultats obtenus par calcul.
Extrapolations http://ddata.**************/xxxyyy/0...rojections.png Nous allons maintenant extrapoler les résultats. Attention toutefois à ne pas déduire de jugements hâtifs. Comme cela fut dit plus haut, les 3 courbes ne correspondent probablement à aucune réalité économique. De surcroît, l’extrapolation est réalisée à partir d’une courte période ce qui n’est pas bon. C’est aussi la raison qui nous conduira à ne pas dépasser le 15 mai 2008 (ce qui est déjà bien audacieux).
Date Linéaire Parabolique Cubique
01/12/2007 89,29$ 95,69$ 103,49$
15/12/2007 90,89$ 98,86$ 110,21$
01/01/2008 92,83$ 102,88$ 119,48$
15/01/2008 94,43$ 106,33$ 128,09$
01/02/2008 96,37$ 110,70$ 139,81$
15/02/2008 97,97$ 114,43$ 150,57$
01/03/2008 99,68$ 118,57$ 163,27$
15/03/2008 101,27$ 122,57$ 176,27$
01/04/2008 103,21$ 127,59$ 193,64$
15/04/2008 104,81$ 131,46$ 209,29$
01/05/2008 106,64$ 136,16$ 228,76$
15/05/2008 108,23$ 141,99$ 247,24$
Une intuition personnelle me pousse à penser que l’ajustement parabolique se révèlera plus proche de la réalité. L’ajustement linéaire ne tient pas compte de l’emballement récent, l’ajustement cubique ayant tendance à s’emballer de manière excessive.
A suivre …Jean-Claude Caty
source : http://www.terredebrut.org/article-14036437.html
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